分布估计算法求解0-1背包问题一

0-1背包问题是:有一个固定容量的背包,和固定种类的物品,每种物品只有一件。每件物品有各自的价值和重量,求解哪些物品放入背包可以使价值总和最大,且不超过背包容量。

本例中用分布估计算法求解0-1背包问题结果如下:

每代最优选择收益图

每代平均收益图

本例中的算例在下面下载:

0-1背包问题算例下载 people.sc.fsu.edu

0-1背包问题算例下载 本站

可以看到,分布估计算法可能在很靠前的迭代中就能得到很好的解,但是由于该算法不会保留上一代最优解,因此该解很可能丢失。从平均收益图来看,种群的整体收益平均值还是增加的。

主程序

主程序主要有以下四步:

for gen = 1:maxgen
    pop = makepop(popsize, stuffsize, p);               % 制作种群
    pop = capacitylimit(pop, capacity, weights, p);     % 限制重量
    spop = selection(pop, sn, profits);     % 选择优势个体
    p = makep(spop, p, alpha);              % 更新概率向量
end

根据概率向量随机采样得到种群,并限制种群中个体的重量(不能超过背包容量),之后选择优势个体,并根据优势个体更新概率向量。进行下次迭代。

主程序如下:

function main()
capacity = load("bag\P08\p08_c.txt");       % 背包容量
bks = load("bag\P08\p08_s.txt");            % 最优解
bks = bks';
weights = load("bag\P08\p08_w.txt");        % 重量
weights = weights';
profits = load("bag\P08\p08_p.txt");        % 收益
profits = profits';

popsize = 100;                  % 群体规模
maxgen = 50;                    % 迭代次数
stuffsize = length(weights);    % 物品数量
p = ones(1, stuffsize) .* 0.5;  % 概率向量
alpha = 1;                      % 学习速率
sn = 0.7;                       % 优势个体数量
sn = ceil(popsize * sn);

bestselection = zeros(maxgen, stuffsize);   % 记录每代最优选择
avgweights = zeros(1, maxgen);              % 记录每代平均收益

for gen = 1:maxgen
    pop = makepop(popsize, stuffsize, p);               % 制作种群
    pop = capacitylimit(pop, capacity, weights, p);     % 限制重量

    wgtsum = weightsum(pop, weights);
    [~, index] = max(wgtsum);
    bestselection(gen, :) = pop(index, :);
    avgweights(1, gen) = sum(wgtsum) / popsize;

    spop = selection(pop, sn, profits);     % 选择优势个体
    p = makep(spop, p, alpha);              % 更新概率向量
end
wgtsum = weightsum(bestselection, weights);
[~, index] = max(wgtsum);
figure(1);
plot(1:1:maxgen, wgtsum');
title("每代最优选择收益图");
figure(2);
plot(1:1:maxgen, avgweights);
title("每代平均收益图");
end

制作种群函数

制作种群函数根据概率向量p进行随机采样,直至达到种群规模。概率向量p中的一项代表在该位置上取1的概率:

function pop = makepop(popsize, stuffsize, p)
% 初始化种群,但没有限制重量
% popsize       input  种群规模
% stuffsize     input  物品数目
% p             input  概率向量
% pop           output 构造的种群
pop = zeros(popsize, stuffsize);
for i =1:popsize
    pop(i, :) = makepopv(stuffsize, p);
end
end

function pop = makepopv(stuffsize, p)
% 初始化个体,没有限制重量
% stuffsize     input  物品数目
% p             input  概率向量
% pop           output 构造的个体
tpop = rand(1, stuffsize);
pop = zeros(1, stuffsize);
for j = 1:stuffsize
    if tpop(1, j) <= p(1, j)
        pop(1, j) = 1;
    end
end
end

限制重量函数

如果种群中某一个个体重量超过背包容量,则重新生成该个体:

function npop = capacitylimit(pop, capacity, weights, p)
% 限制重量
% pop           input  种群
% capacity      input  背包容量
% weights       input  重量
% p             input  概率向量
% npop          output 新种群
npop = pop;
[popsize, stuffsize] = size(pop);
for i = 1:popsize
    wgtsum = weightsumv(npop(i, :), weights);
    while wgtsum > capacity
        npop(i, :) = makepopv(stuffsize, p);
        wgtsum = weightsumv(npop(i, :), weights);
    end
end
end

选择优势个体函数

从种群中选择指定数量的优势个体:

function spop = selection(pop, sn, profits)
% 选择
% pop           input  种群
% sn            input  选择数量
% profits       input  收益向量
% spop          output 选择的种群
pftsum = profitssum(pop, profits);
pftsum = pftsum';
[~, index] = sort(pftsum, 'descend');
index = index(1: sn);
spop = pop(index, :);
end

更新概率向量函数

该函数更新概率向量:

function np = makep(pop, p, alpha)
% 更新概率向量
% pop           input  种群
% p             input  概率向量
% alpha         input  学习速率
% np            output 更新后的概率向量
popsize = size(pop, 1);
np = (1 - alpha) .* p + alpha .* sum(pop) ./ popsize;
end

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